建个模型吧
Modeling
虽然经过我们的证明,小策略是一个很完美的避免大家进入厕所以后无纸可用的尴尬策略,但是现实往往很残酷,并不是所有人都意识到了这一点。有的人依旧会选择大的那个,有的人依旧会随机地选择自己用哪卷纸。
模型很丰满,现实很骨感
为了一般化上面的情况,我们可以定义在所有进入厕所中的人中会有 q 的概率选择小策略,而会有 p 概率的人选择大策略。当然,p + q = 1。对于随机选择的人,其实就对应上面模型中的 q = 1 / 2。
怎么来衡量用纸尴尬情况发生的可能性呢?令Mn(p)为两个长度均为 n 的卷纸在一个卷纸用完以后,另一个卷纸的长度的数学期望。如果这个 M 越大,就意味着越安全,留给我们换一卷新的纸的时间也就越多。如果这个 M 越小……我们就只能自求多福不要遇到这种尴尬的情况了……
高德纳(Donald Ervin Knuth)教授为现代计算机科学的先驱人物,创造了算法分析的领域,在数个理论计算机科学的分支做出基石一般的贡献。在计算机科学及数学领域发表了多部具广泛影响的论文和著作。1974年图灵奖得主。
这个这么关系到大家生活幸福程度的事情,怎么可能没有科学家关注过呢?在 1984 年,高德纳(Donald Ervin Knuth)教授就研究过 Mn(p) 的具体表达式,以及其一些性质。我们可以通过一些简单的情况来熟悉分析的方法。
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